Refleksja nad życiem Georga Cantora

W tym szumie pseudoprawdziwych informacji, proponujących nam rozmaite, jedynie słuszne sposoby na życie, jak może udać się odnaleźć prawdziwy drogowskaz?

Wiedza, którą posiadamy, gdy nasz umysł jest świeżo rozbudzony i jeszcze w miarę czysty, jest tak pewna i oczywista, że wydaje nam się wtedy oznaką niedojrzałości. Zaczynamy ją podejrzewać i odrzucamy w oczekiwaniu na weryfikację, jaka mają nam przynieść czekające tuż za progiem lata dorosłego życia. Nie wiedzieć czemu dopatrujemy się w nich obietnicy otrzymania wiedzy prawdziwej i pewnej. Za progiem czai się jednak sadzawka relatywizmu, w której po kilku krokach grzęźniemy.

I znów, nie wiedzieć czemu, wydaje nam się że droga już się skończyła i że sadzawka jest bezkresnym oceanem.

Zaczytując się w życiorysach sławnych ludzi zbieramy pokaźną listę przykładów na to, jak wierność swoim marzeniom, wytrwałość i ciężka praca wbrew przeciwnościom losu, doprowadzają do wielkich osiągnięć i zebrania należnych laurów. Podziwiamy. Popieramy ich całym sercem, nawet tych, na których zasłużony splendor spłynął dopiero po ich zejściu z tego świata. Czy było warto? Tak, oczywiście, było! Czy Mozart, Van Gogh, Rimbaud, umierając w opuszczeniu, nędzy i chorobie, mogli przypuszczać, że staną się nieśmiertelnymi filarami kultury? Musieli przypuszczać. Czytali przecież Horacego.

Człowiek, który nie potrafi żyć wbrew temu, co czuje, który nie potrafi swojego wysiłku skierować w inną stronę niż ta, w którą podążają jego myśli dniem i nocą, ponosi wielkie zwycięstwo lub wielką klęskę. Lub jedno i drugie. Wiedeńscy przechodnie, spoglądając na oberwanego, zataczającego się Beethovena (w jego nienajlepszym okresie) z pewnością nie życzyliby sobie, by ich dzieci pobłogosławione były podobnym „darem”. Podziw dla geniuszu popada w konflikt z naszym praktycznym poczuciem właściwego smaku i podstawowych wartości. Poszanowanie dla rzeczy najprostszych; domu, rodziny, uczciwej pracy. Trzeźwe spojrzenie na życie. Wychowujemy dzieci tak, by stały twardo na ziemi i rozumiały, że konieczności trzeba umieć się poddać (tu można wstawić odnośnik do tego artykułu o pedagogice Kanta, z ostatniego numeru). Gra niewarta świeczki. Cóż z wielkiego talentu, jeżeli nie można wieść życia uczciwego obywatela?

Z drugiej strony, kto z nas nie marzy wieczorami przed zaśnięciem o tym, że wpadnie przez okno sowa niosąca wiadomość od dyrektora Hogwartu i w końcu będziemy takimi, jakimi powinniśmy być?

Osiemdziesiąt siedem lat temu w zakładzie dla obłąkanych zmarł Georg Cantor, człowiek, który całe swe życie poświęcił badaniu zagadnienia nieskończoności w matematyce. Twórca teorii mnogości, na której oparła się cała współczesna matematyka stosowana, czyli ta właśnie, której uczymy się w szkołach. Znamy doskonale symbol umieszczany przy grocie strzałki osi liczbowej. Znamy zbiór nieskończony, wiemy, że zbiór liczb rzeczywistych ma tyle samo elementów, co zbiór liczb naturalnych, chociaż paradoksalnie ten drugi jest podzbiorem tego pierwszego.

Otóż, gdy te oczywiste dziś dla nas prawa Cantor ośmielił się wysunąć jako tezy nowego systemu matematycznego, nazwanego później teorią mnogości, spotkał się ze świętym oburzeniem całego ówczesnego matematycznego lobby. Obwołano go fantastą i był to jeden z łagodniejszych przydomków, jakie zaczęły być wymieniane łącznie z nazwiskiem Cantora.

Wyjaśnijmy. Powodem sprzeciwu wobec wprowadzania do matematyki obiektów nieskończonych były (od starożytności) liczne paradoksy i trudności, jakie pociągało za sobą przyjęcie ich istnienie. Zgodzono się jedynie na istnienie teoretycznej możliwości mnożenia w nieskończoność pewnych wielkości, jednak uznanie aktualnie istniejącego zbioru o nieskończonej liczbie elementów nie wchodziło w żaden sposób w rachubę.

Przykładami paradoksów nieskończoności są np. słynne paradoksy Zenona z Elei (V w. p.n.e.), nierozwiązywalne przez niemal dwa i pół tysiąca lat. Przez tak długi okres nie narodził się nikt, kto poważyłby się przekroczyć prawa zdrowego rozsądku na tyle, by móc sobie wyobrazić, że w paradoksach tkwić mogą ukryte prawidłowości, dzięki którym można by nawet zbudować spójny system matematyczny. Chodziło przecież o zamach na prawdziwość zdania, że całość zawsze musi być większa od części.

Urodzony pod znakiem ryb Cantor potrafił to sobie wyobrazić. Po latach ciężkiej pracy umysłowej, kiedy jego myśli nieustannie krążyły wokół najbardziej tajemniczych prawd wszechświata, potrafił to nawet sformułować, udowodnić i przedstawić w formie dzieła Grundlagen einer allgemeinen Mannigfaltigkeitslehre z 1883 r.

Gdy dzieło zostało uznane za bezwartościowe przez tęgie umysły XIX wieku, Cantor, który rozważania tajemnic nieskończoności nie mógł już porzucić, poszukał zrozumienia wśród uczonego duchowieństwa. Tam znalazł go więcej, chociaż na skutek polemiki z kościołem zgodził się odróżnić swoją nieskończoność matematyczną od nieskończoności absolutnej, jaka realizuje się jedynie w Bogu. Zasadniczych swych poglądów nie zmienił, lecz posługiwać się zaczął terminem „pozaskończoność” w miejsce „nieskończoności”. Tę drugą nazwę pozostawił dla spraw boskich.

Jednak nie był to koniec kłopotów. Wkrótce odkryto i ogłoszono sprzeczności, do jakich dojść można na gruncie teorii mnogości zaproponowanej przez Cantora. Oto jedna z nich:
Weźmy przykład zbioru nieskończonego – zbioru wszystkich możliwych zbiorów. Wtedy każdy dowolny zbiór będzie się z konieczności w nim zawierał. Weźmy teraz twierdzenie Cantora o zbiorach potęgowych. Wiadomo z niego, że dla każdego dowolnego zbioru istnieje liczniejszy od niego zbiór, a mianowicie zbiór wszystkich możliwych jego podzbiorów. Zestawmy te dwie przesłanki.

Mamy zbiór wszystkich możliwych zbiorów (nazwijmy go X) i zbiór wszystkich możliwych podzbiorów zbioru X (nazwijmy go zbiór Y). Który z nich jest liczniejszy? Oczywiście ten drugi – według twierdzenia. Wyciągamy teraz wniosek.

Zbiór X to taki zbiór, że każdy dowolny zbiór musi się w nim zawierać (bo jest to zbiór wszystkich możliwych zbiorów). Więc zawierać się w nim musi również zbiór Y.

Konkluzja:
Zbiór Y jest liczniejszy niż zbiór X a jednocześnie zawiera się w zbiorze X. Zbiór „większy” zawiera się w zbiorze „mniejszym”.

Całe to rozumowanie przebiega w zgodzie wprowadzonymi przez Cantora prawami. A jednak prowadzi do antynomii.

Przeciwnicy Cantora zyskali, jak się wydawało broń do ostatecznego zniszczenia jego fantazyjnej idei. On sam podjął próby ustalenia, gdzie popełnił błąd. Jednak nie odnajdując odpowiedzi zaczął popadać w chorobę. Zmarł w obłąkaniu, nie doczekawszy się uznania.

Jednak już wkrótce pisma Cantora trafiły w ręce osób błyskotliwych na tyle, by móc docenić wagę prowadzonych przez niego badań. Niemiec Gottlob Frege podjął się pracy zbudowania na gruncie teorii mnogości, ujętej przez niego jako niesprzeczny system logiczny, całej niesprzecznej matematyki. Chociaż i na to dzieło czekała podobna puenta, jak na pracę Cantora, a mianowicie antynomia zbudowana w systemie Fregego przez Bertranda Russella. Jednakże sam Russell podjął się kontynuowania dzieła i wyeliminowania wszelkich antynomii, utrzymując w mocy twierdzenia teorii mnogości. Tak, czy inaczej nikt już nie ośmielał się kwestionować znaczenia nieskończoności w matematyce.

Czy Cantor umierając podejrzewał, że jego idee staną się fundamentem nowoczesnej matematyki, czy też pozostała mu wyłącznie gorycz przeświadczenia, że dzieło jego życia było wielkim nieporozumieniem? Płodem chorego umysłu? Czy na końcu wierzył jeszcze sam sobie? Znany z „Pięknego umysłu” John Nash miał dużo więcej szczęścia – doczekał się Nobla.

Gdyby Georg Cantor był uczciwym obywatelem, wykorzystałby swoje zdolności w chwalebnym celu; na przykład zająłby się rachunkowością w jakiejś wielkiej manufakturze, zarobił dobre pieniądze, ożenił się, umarł we własnym łóżku (od najlepszego rzemieślnika w mieście).

Wtedy być może nie mielibyśmy w Polsce szkoły warszawsko-lwowskiej, która wydała najlepszych na świecie logików XX wieku. Łukasiewicz i Tarski nauczaliby może ze spokojnym sumieniem, że całość zawsze jest mniejsza od części a paradoksy Zenona dowodzą, że nie możemy przyjąć istnienia nieskończoności. Trudno sobie odpowiedzieć na pytanie, czy to dobrze czy źle móc sobie wyobrazić to, czego nikt inny nie może.

W każdym razie moi państwo, nie dryfujemy po oceanie, lecz drepczemy w sadzawce. Można ja w każdej chwili opuścić. Jednak często wygodniej udawać, że to ocean. Jeżeli przyznamy się do sadzawki, będziemy musieli podjąć decyzję – zostać czy wyjść? I nigdy już nie będzie można zaprzeczyć, że jest to świadomy wybór. Pamiętajmy tylko o jednym – matematyka jest niebezpieczna.

Zainteresowanym polecam książkę:
Amir D. Aczel, Tajemnica Alefów. Matematyka, kabała i poszukiwania nieskończoności.

Sylwia Zawadzka

One thought on “Refleksja nad życiem Georga Cantora

  1. Autorka pisze: „wiemy, że zbiór liczb rzeczywistych ma tyle samo elementów, co zbiór liczb naturalnych, chociaż paradoksalnie ten drugi jest podzbiorem tego pierwszego.”
    Uważam tego typu sformułowanie za z gruntu fałszywe.
    1. Nie powinno się dla zbiorów nieskończonych używać terminu „mają tyle samo elementów” lecz „są równoliczne”, pozostawiając pierwsze określenie dla zbiorów skończonych.
    2. Zbiory N i R nie są równoliczne, moc N jest równa alef0, moc R to continuum.

Dodaj komentarz

Twój adres email nie zostanie opublikowany. Pola, których wypełnienie jest wymagane, są oznaczone symbolem *